Предисловие
1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
1.1. Определение топологического пространства
1.2. Непрерывные отображения
1.3. Примеры топологических пространств
1.4. Связные пространства и связные множества
1.5. Хаусдорфовы и нормальные пространства
1.6. Компактность
1.7. Гомотопия и гомотопическая эквивалентность
1.8. Конечные клеточные комплексы. Эйлерова характеристика
1.9. Гомотопические свойства клеточных комплексов
2. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
2.1. Определение гладкого многообразия
2.2. Примеры гладких многообразий
2.3. Разбиение единицы
2.4. Касательное пространство и дифференциал
2.5. Векторные поля
2.6. Подмногообразия и теорема о неявной функции
2.7. Теорема Сарда
2.8. Вложение многообразий в евклидово пространство
2.9. Многообразия с краем
2.10. Теорема Брауэра о неподвижной точке
2.11. Ориентация многообразия
2.12. Классификация одномерных и двумерных многообразий
2.13. Риманова метрика
3. ТЕОРИЯ МОРСА
3.1. Пример функции Морса
3.2. Невырожденные критические точки
3.3. Строение многообразия вдали от критических точек
3.4. Многообразие вблизи невырожденной критической точки
3.5. Теорема Морса
3.6. Неравенства Морса
3.7. Группы гомологий и числа Бетти
3.8. Два примера
3.9. Дальнейшее развитие теории Морса
4. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
4.1. Тензорная алгебра над векторным пространством
4.2. Тензорные поля на многообразии
4.3. Связность на многообразии
4.4. Тензоры кручения и кривизны
4.5. Параллельный перенос
5. РИМАНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ
5.1. Определение риманова многообразия
5.2. Тензор кривизны риманова многообразия
5.3. Геодезические и экспоненциальное отображение
5.4. Поля Якоби
5.5. Геодезические и кратчайшие
5.6. Полные римановы многообразия
6. ВАРИАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
6.1. Пространство путей гладкого многообразия
6.2. Функционал длины и функционал энергии
6.3. Формула первой вариации
6.4. Формула второй вариации
6.5. Нулевое пространство гессиана. Сопряженные точки
6.6. Теорема об индексе
6.7. Конечномерная аппроксимация пространства путей
6.8. Топология пространства путей
6.9. Некоторые соотношения между топологией и кривизной
Литература
Предметный указатель