ВВЕДЕНИЕ
1. ШКОЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ . . 11
1.1. Числа и их свойства 11
1.2. Элементарные функции и их свойства 17
1.3. Геометрия 26
1.4. Тригонометрия 34
2. ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И СИМВОЛИКА 38
2.1. Теоретико-множественные понятия и символика 38
2.2. Логические понятия и символика 44
2.3. Комбинаторика 45
2.4. Соответствия 51
2.5. Отношения 54
Глава I ЛОГИКА
1. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ 57
1.1. Предмет логики высказывании 57
1.2. Синтаксис 58
1.3. Семантика 62
1.4. Алгебра логики высказываний 65
2. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ 71
2.1. Синтаксис 71
2.2. Семантика исчисления предикатов 71
2.3. Аристотелева, или традиционная логика 73
Глава II ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1. МАТРИЦЫ 80
1.1. Определение матрицы 80
1.2. Операции над матрицами 85
1.3. Элементарные преобразования строк и столбцов 88
1.4. Ранг и норма матрицы над полем комплексных чисел 89
1.5. Матричные алгебраические структуры 92
1.6. Функции от матриц 93
1.7. Собственные числа и собственные векторы матриц 94
2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 95
2.1. Определение и примеры 95
2.2. Базис и размерность 96
2.3. Примеры линейных пространств 97
2.4. Переход от одного базиса к другому 99
2.5. Изоморфные пространства 100
2.6. Подпространства 101
3. ДЕТЕРМИНАНТЫ 103
3.1. Определение детерминанта ЮЗ
3.2. Свойства детерминантов 104
3.3. Способы вычисления детерминантов 106
3.4. Специальные детерминанты 109
4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО
4.1. Основные определения ПО
4.2. Решения систем 111
5. ФУНКЦИОНАЛЫ И ФОРМЫ 115
5.1. Линейные функционалы и линейные формы 115
5.2. Квадратичные формы 120
5.3. Квадратичные формы над полем вещественных чисел 126
5.4. Закон инерции квадратичных форм 128
6. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 132
6.1. Определение скалярного произведения 132
7. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ — ОПЕРАТОРЫ 137
7.1. Матрица линейного оператора 141
7.2. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора 143
7.3. Сопряжённое преобразование 144
7.4. Ортогональные преобразования 146
7.5. Самосопряжённые преобразования 147
8. УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 147
8.1. Скалярное произведение в комплексном пространстве 147
8.2. Формы и матрицы с комплексными коэффициентами 149
9. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 154
9.1. Сопряжённые операторы 154
9.2. Эрмитовы операторы 154
9.3. Унитарные операторы 154
Глава III ВЫСШАЯ АЛГЕБРА
1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 156
1.1. Поле комплексных чисел 156
2. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ . . . 163
2.1. Многочлены от одной переменной над произвольным полем 163
2.2. Наибольший общий делитель двух многочленов 167
2.3. Корни многочленов 168
2.4. Представление рациональной дроби в виде суммы простейших 170
2.5. Интерполяционный многочлен 171
2.6. Многочлены от одной переменной над нолем комплексных чисел 173
2.7. Многочлены от одной переменной над нолем вещественных чисел 176
3. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 182
3.1. Многочлены от нескольких переменных над произвольным полем 182
3.2. Решение системы двух многочленных уравнений с двумя неизвестными 186
3.3. Симметрические многочлены 189
3.4. Основная теорема теории симметрических мно¬гочленов 191
Глава IV АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1. ВЕКТОРЫ 193
1.1. Определения 193
1.2. Действия с векторами 195
1.3. Скалярное, векторное и смешанное произведение 200
1.4. Простейшие формулы, касающиеся векторов . . 205
2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ 208
2.1. Координаты на прямой 208
2.2. Системы координат па плоскости 209
2.3. Связь между координатами одной и той же точки в разных аффинных системах координат на плоскости 212
2.4. Системы координат в пространстве 215
2.5. Связь между координатами одной и той же точки в разных аффинных системах координат в пространстве 218
3. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ 219
3.1. Определение аффинных преобразований плоскостей 219
3.2. Типы аффинных преобразований плоскостей . . 220
3.3. Свойства аффинного преобразования плоскости 222
4. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ 227
5. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ 229
5.1. Кривые второго порядка, заданные каноническими уравнениями 229
5.2. Кривые второго порядка, заданные общими уравнениями 236
6. ТРЁХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ 242
7. ТРЁХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 245
7.1. Поверхности второго порядка, заданные общими уравнениями 245
7.2. Аффинные преобразования пространства 248
Глава V МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 251
1.1. Точечные множества 251
1.2. Числовые функции 255
1.3. Графики функций 264
1.4. Пространственные кривые 264
1.5. Функции, заданные параметрически 264
1.6. Кривые в полярных координатах 276
1.7. Плоские кривые, заданные неявно 288
2. ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ . . . 288
2.1. Предел последовательности 288
2.2. Предел функции 295
2.3. Односторонние пределы 297
2.4. Основные теоремы о пределах 297
2.5. Замечательные пределы 299
2.6. Сравнение функций. Символы 0(f) и о(/) . . . 300
2.7. Непрерывность функции 302
2.8. Точки разрыва функции 303
2.9. Свойства непрерывных функций 304
3. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 307
3.1. Производная функции 307
3.2. Вычисление производных 307
3.3. Формулы для производных основных элементарных функций 310
3.4. Бесконечные п односторонние производные . . . 312
3.5. Дифференциал функции 313
3.6. Геометрический смысл производной 315
I ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 316
4.1. Производные высших порядков 316
4.2. Параметрическое дифференцирование 318
4.3. Дифференциалы высших порядков 318
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ 319
5.1. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций 319
5.2. Формула Тейлора 321
5.3. Правило Лопиталя 323
5.4. Монотонность и выпуклость функций 325
5.5. Экстремумы функции 328
5.6. Построение графиков 330
6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 330
6.1. Определение функции нескольких переменных . 330
6.2. Предел функции нескольких переменных .... 331
6.3. Непрерывность функции многих переменных . . 332
6.4. Дифференцирование функций многих переменных334
6.5. Полный дифференциал функции многих переменных 335
6.6. Производные сложной функции 336
6.7. Производные по заданному направлению .... 337
6.8. Производная функции, заданной неявно 338
6.9. Производные высших порядков 338
б.10. Днфференциалы высших порядков 340
6.11. Формула Тейлора функции двух переменных . . 341
6.12.Экстремумы функций многих переменных .... 341
6.13.Условные экстремумы 343
Глава VI МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 345
1.1. Неопределенные интегралы 345
1.2. Таблица основных интегралов 346
1.3. Простейшие правила интегрирования 349
1.4. Интегрирование рациональных функций .... 351
1.5. Интегрирование иррациональных функций . . . 355
1.6. Интегрирование трансцендентных функций . . . 358
2. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ . 358
2.1. Определение определенного интеграла 358
2.2. Свойства определенных интегралов 360
2.3. Вычисление и преобразования определенных интегралов 362
3. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ И МЕХАНИКЕ 363
3.1. Вычисление длины кривой 363
3.2. Площадь 364
3.3. Площадь поверхности вращения 365
3.4. Центр тяжести 366
3.5. Момент инерции 367
4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 367
5. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ II ИХ СВОЙСТВА ... 370
5.1. Определение двойного интеграла 370
5.2. Свойства двойных интегралов 371
5.3. Вычисление двойных интегралов 372
5.4. Замена переменных в двойных интегралах . . . 373
5.5. Специальные криволинейные координаты .... 373
5.6. Геометрический смысл двойного интеграла . . . 374
5.7. Физические приложения двойного интеграла . . 374
6. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 375
6.1. Криволинейные интегралы 1-го рода (интегралы по длине кривой) 375
6.2. Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода 377
6.3. Криволинейный интеграл 2-го рода (интеграл по проекции) 378
6.4. Независимость криволинейных интегралов второго рода от пути интегрирования . 381
6.5. Связь криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода 384
6.6. Геометрические и физические приложения криволинейных интегралов 384
7. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА 385
7.1. Вычисление тронных интегралов 386
7.2. Замена переменных в тройном интеграле .... 386
7.3. Геометрические и физические приложения трой¬ных интегралов 388
8. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 389
8.1. Площадь гладкой поверхности 389
8.2. Поверхностные интегралы 1-го рода 390
8.3. Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода 391
8.4. Поверхностные интегралы 2-го рода 392
8.5. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода 393
8.6. Связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода 394
8.7. Интегральные формулы 395
9. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 397
9.1. Скалярное и векторное поля 397
9.2. Градиент 397
9.3. Дивергенция 398
9.4. Ротор 399
9.5. Специальные поля 400
10.БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 401
10.1.Основные понятия 401
10.2.Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами 403
10.З.Ряды с произвольными членами." Абсолютная сходимость 406
11. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 408
11.1.Функциональные последовательности 408
Нефункциональные ряды 409
П.З.Степенные ряды 410
11.4.Разложение в ряд Тейлора элементарных функций 412
Глава VII ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 414
1.1. Топологические пространства 414
1.2. Векторная функция скалярного аргумента . . . 416
1.3. Кривые 419
1.4. Поверхности 422
2. ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ 423
2.1. Задание кривых 423
2.2. Касательная и нормаль 424
2.3. Длина плоской кривой 426
2.4. Кривизна и радиус кривизны линии 427
2.5. Асимптоты плоской кривой. Построение кривых 427
3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ 430
3.1. Касательная к кривой. Длина дуги. Сопровождающий трехгранник кривой . 430
3.2. Формулы Серре - Френе для кривой. Кривизна. Кручение. Натуральные уравнения линии 433
4. ПОВЕРХНОСТИ 435
4.1. Касательная плоскость и соприкасающийся параболоид 435
4.2. Первая квадратичная форма поверхности .... 437
4.3. Линии на поверхности 437
4.4. Явно заданные поверхности 438
4.5. Поверхности, заданные параметрическими уравнениями 444
Алфавитный указатель 455